Forbrytelser lønner seg… ofte.

Til tross for massive støtteapparater og formodentlig gjennomsnittlig intelligens, kastes det ut 1-2 løpere per dag fra Tour de France. Sykkelsporten er åpenbart infisert av doping, og for meg blir det viktigste spørsmålet: hvor stor del av dopfjellet ser vi egentlig?

Jeg tror det aller meste av dopingen er basert på veloverveide beslutninger basert på antakelser om risiko og avkastning. Tross alt er det snakk om store team med leger og andre velutdannede folk, som neppe setter sprøyter i vilden sky hvis de ikke tror de kunne komme seg unna med det. Matematisk kan vi skildre en slik beslutning under usikkerhet på denne måten:

Forventet fortjeneste × sannsynligheten for å komme seg unna er større enn Kostnaden ved dopingen + Kostnaden ved å bli tatt × sannsynligheten for å bli tatt.

Jeg foretrekker å bruke symboler, for å spare noen ord. $F$ er forventet fortjeneste, $K_D$ er direkte kostnader ved dopingen, $K_T$ er antatt kostnad ved å bli tatt og $p$ er antatt sannsynlighet for å bli tatt (og $1-p$ er det motsatte: sannsynligheten for å slippe unna).

Jeg antar også at $K_D$ er veldig liten i forhold til $F$ og $K_T$, så i det videre overser jeg denne variabelen. Ettersom vi vet at det foregår en god del doping i sporten, kan vi vite at følgende ulikhet holder:

Oversatt til norsk igjen: Syklistene antar at fortjenesten ved å dope seg er større enn den forventede kostnaden.

Dette kan vi utnytte til å skaffe oss et meget presist anslag på hvor mange syklister som blir tatt. Vi kan nemlig regne ut $p$, og dermed tappe av informasjonen de profesjonelle doperne har. Først må vi anta verdier for kostnaden av å bli tatt, og verdien av å vinne.

Den antatte verdien av å dope seg er sannsynligheten for at man vinner etter å ha dopet seg minus sannsynligheten for at man ville vunnet uansett multiplisert med gevinsten, altså:

der $q$ er sannsynligheten for å vinne etter å ha dopet deg, $q_0$ er sannsynligheten for å vinne uten dop og $W$ er gevinsten. Legg merke til at både $q$ og $q_0$ strengt tatt ikke er enkle tall, men funksjoner: $q$-ene avhenger av hvor mange andre som doper seg. Jeg kommer likevel til å overse denne «detaljen».

Kostnaden ved å bli tatt er lik tap av fremtidige inntekter. Dette består av et ledd i form av dårligere rykte – slik at du kan bidra i færre shampoo-reklamer – og et ledd av tapt fremtidig deltakelse i sykkelløp. Vi setter $n$ til å være forventet antall gjenværende løp i syklistens liv (inklusive det inneværende) og $t_0$ til å være kostnaden ved tapt rykte, og får (omtrent):

Vi kan dermed sette inn i vår ulikhet:

Ved hjelp av litt enkel liknings-dytting får vi frem at:

Det er noen interessante ting å legge merke til her. For det første leddet $\frac{t_0}{W}$: Det direkte tapets størrelse betyr noe kun som en andel av den potensielle gevinsten. Hvis gevinsten øker, vil dette leddet bety mindre (og doping bli vanligere). Legg også merke til at $q_0$ fremstår to steder, både som negativ og positiv. Dette skyldes at $q_0$ begrenser gevinsten ved å dope seg (fordi du kan være flink og udopa), men øker kostnaden ved å bli tatt (hvis du er flink, er det kjipere å bli utestengt). Til slutt kan det være verd å legge merke til at hvis sannsynligheten for å bli tatt ($p$) går mot 0, går dopingen til himmels.

Vi kan ta et talleksempel for å gjenspeile snittet i Tour de France (sånn omtrentlig). Husk på at vi ikke snakker om en definitiv naturlov, men beslutningsmodellen som Tour de France-lagene benytter. Det er derfor godt mulig at alle lagene vurderer vinnersjansen til 5 % - selv om det er mer enn 20 ryttere. Vi setter $q$ til 0.05, $q_0$ til 0.01, $t_0$ til 10 millioner kroner, $W$ til 100 millioner kroner og $n$ til 20. Da får vi at

altså at $\frac{1-p}{p} > 7.5$.

Hvor er så $\frac{1-p}{p}$ større enn 7.5? Det er når $p$ er mindre enn \0.1177 – altså at sannsynligheten for å bli tatt er mindre enn 11.8 %. Det følger av den ovenstående resonnementet at, forutsatt at premissene er korrekte, er lagene antar at det er mindre enn 12 % sannsynlighet for å bli tatt i doping. Ut fra dette konkluderer vi med at den reelle sannsynligheten neppe kan ligge vesentlig høyere.